Ok, so langsam blicke ich durch:
Auf der Ostseite gehört nur ca. der erste Meter zur öffentlichen Strasse. Dahinter beginnt das Privatgrundstück (schwarze Linie im neuen Plan; Eigentum: "Spezielle Rechtsform" der Stadt Zürich), auf welchem das Strassenverkehrsgesetz nicht gilt. Deshalb hat es dort diese komischen Tafeln mit Fahr- und Halteverbot und darunter viel juristischer Text, welcher diese Signale auf Privatgrund legitimiert.
Jedenfalls kann Velofahren dort nur geahndet werden, wenn die Eigentümerin oder eine von dieser befugte Person (z. B. Pächter des Restaurants?) dies verlangt.

Liebe:r zuzuzuzu, hinter dem Gebäude gibt es eine gut versteckte Velo/Fussgänger- Brücke in die Innenstadt (Migros City usw.) Leider ist die Beschriftung, wie auch die Markierung von den Radwegen derart schlecht, dass die Fussgänger immer drauf laufen und man diese Brücke kaum findet.

Was genau auf der Ostseite der Gessnerallee gilt, habe ich mich auch schon oft gefragt.

Es ist nämlich ein allgemeines Fahrverbot signalisiert, aber es hat darunter auch Tafeln "ausgenommen Fahrräder auf den markierten Wegen" oder so ähnlich. Viele dieser Zusatztafeln sind aber abgedreht. Ich glaube, auf dem Bild ist sogar so eine Tafel sichtbar (unter der Tafel mit dem Fahrverbot in der linken Bildhälfte).

Zumindest nach Süden geht es auf dieser Seite auch weiter zum Velonetz: zur Brücke über den Schanzengraben und zum Platz vis-à-vis vom Decathlon. Vor der Brücke ist sogar auch wieder ein Velopfeil (in beide Richtungen) am Boden aufgemalt: https://s.geo.admin.ch/8xg11vgpzv2j

Nach Norden ist die Situation noch weniger klar, nach dem Privatparkplatz hat es nämlich noch eine solche Fahrverbotstafel mit Zusatztafel und dann landet man beim Judith-Gessner-Platz auf dem Trottoir.